Wie lange dauert es, bis von einem radioaktiven Stoff nur noch die Hälfte übrig ist? Wer die Halbwertszeit berechnen möchte, braucht dafür meist nur wenige Angaben, muss aber zwischen Zerfallskonstante, Anfangsmenge und Messwerten unterscheiden. Hier zeige ich die wichtigsten Formeln, rechne typische Beispiele vor und erkläre, warum einzelne Atomkerne trotzdem nicht auf den Zeitpunkt genau vorhergesagt werden können.
Die wichtigsten Regeln zur Halbwertszeit auf einen Blick
- Halbwertszeit bedeutet, dass nach einer bestimmten Zeit noch 50 Prozent der Ausgangsmenge vorhanden sind.
- Die Grundformel lautet T1/2 = ln(2) / λ.
- Nach zwei Halbwertszeiten bleiben 25 Prozent, nach drei noch 12,5 Prozent übrig.
- Für die Rechnung müssen die Zeiteinheiten einheitlich sein.
- Die Halbwertszeit beschreibt eine statistische Gesetzmäßigkeit für viele Kerne, nicht den exakten Zerfallszeitpunkt eines einzelnen Atoms.
Was die Halbwertszeit tatsächlich aussagt
Die Halbwertszeit, meist mit T1/2 bezeichnet, ist die Zeitspanne, nach der sich die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne halbiert hat. Aus 100 Prozent werden also 50 Prozent, danach 25 Prozent und anschließend 12,5 Prozent. Die Abnahme verläuft deshalb nicht linear, sondern exponentiell.
Bei einer Probe mit 10.000 radioaktiven Kernen sind nach einer Halbwertszeit statistisch etwa 5.000 Kerne übrig. Nach zwei Halbwertszeiten bleiben ungefähr 2.500, nach drei rund 1.250. Ich finde gerade diese Folge besonders hilfreich, weil sie das Prinzip schneller verständlich macht als eine rein abstrakte Formel.
Wichtig ist außerdem, welche Größe gemessen wird. Statt der Anzahl der Kerne können auch die Aktivität, die Masse oder die Konzentration betrachtet werden. Solange die Größe proportional zur Menge des radioaktiven Stoffes ist, halbiert sie sich im gleichen Zeitabstand.
Die passende Formel für die jeweilige Aufgabe
Wenn die Zerfallskonstante bekannt ist
Die wichtigste Beziehung lautet T1/2 = ln(2) / λ. Dabei steht λ für die Zerfallskonstante. Sie gibt an, wie wahrscheinlich der Zerfall eines einzelnen Atomkerns pro Zeiteinheit ist. Da ln(2) ungefähr 0,693 beträgt, kann man auch mit T1/2 = 0,693 / λ rechnen.
Beispiel: Beträgt die Zerfallskonstante λ = 0,002 s-1, ergibt sich:
T1/2 = 0,693 / 0,002 s-1 = 346,5 s
Die Halbwertszeit beträgt damit etwa 347 Sekunden, also knapp 5,8 Minuten. Die Einheit ergibt sich automatisch aus der Einheit von λ. Steht λ beispielsweise in h-1, erhält man die Halbwertszeit in Stunden.
Wenn Anfangsmenge und Restmenge bekannt sind
Häufiger liegen zwei Messwerte vor. Dann hilft das Zerfallsgesetz:
N(t) = N0 · 2-t/T1/2
N0 ist die Anfangsmenge, N(t) die nach der Zeit t gemessene Menge. Für die direkte Bestimmung der Halbwertszeit kann man umstellen:
T1/2 = t · ln(2) / ln(N0/N(t))
Diese Variante ist besonders nützlich bei Messreihen. Ich prüfe dabei zuerst immer, ob tatsächlich dieselbe Größe zu zwei Zeitpunkten gemessen wurde. Ein Vergleich von Masse und Aktivität ist nur dann sinnvoll, wenn ihre Beziehung bekannt ist.
Wenn nur ein Prozentsatz angegeben ist
Prozentangaben lassen sich direkt in Halbwertszeiten übersetzen. Bleiben 50 Prozent übrig, ist eine Halbwertszeit vergangen. Bei 25 Prozent sind es zwei, bei 12,5 Prozent drei. Für beliebige Werte gilt:
t = T1/2 · log2(N0/N)
Alternativ kann man mit natürlichen Logarithmen rechnen:
t = T1/2 · ln(N0/N) / ln(2)
Halbwertszeit aus Messwerten bestimmen
Eine praktische Rechnung beginnt immer mit einer kleinen Tabelle. Notiere die Zeitpunkte und die dazugehörige Aktivität oder Stoffmenge. Sinkt der Wert beispielsweise von 800 Bq auf 400 Bq, entspricht der Zeitunterschied direkt einer Halbwertszeit.
| Anzahl der Halbwertszeiten | Verbleibender Anteil | Prozentwert |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 100 Prozent |
| 1 | 1/2 | 50 Prozent |
| 2 | 1/4 | 25 Prozent |
| 3 | 1/8 | 12,5 Prozent |
| 4 | 1/16 | 6,25 Prozent |
Bei realen Messungen liegen die Werte selten exakt auf diesen Stufen. Messgeräte haben eine Unsicherheit, und auch der natürliche Zerfall erzeugt statistische Schwankungen. Deshalb wird die Halbwertszeit bei einer längeren Messreihe meist durch eine Ausgleichsrechnung bestimmt, nicht aus nur zwei ungenauen Einzelwerten.
Für eine überschlägige Lösung reicht oft die Anzahl der Halbierungen. Fällt eine Aktivität von 4,0 · 106 Bq auf 2,0 · 106 Bq, ist genau eine Halbwertszeit vergangen. Die Einheit Bq steht für Becquerel und bedeutet einen Zerfall pro Sekunde.
Drei Beispiele mit nachvollziehbaren Zahlen
Beispiel 1 mit einer einfachen Halbierung
Eine Probe enthält zunächst 8.000 radioaktive Kerne. Nach 6 Stunden sind noch 4.000 vorhanden. Die Menge hat sich genau halbiert, deshalb beträgt die Halbwertszeit 6 Stunden.
Nach weiteren 6 Stunden wären statistisch noch 2.000 Kerne übrig. Die Zeitspanne bleibt gleich, obwohl die absolute Zahl der zerfallenen Kerne von Abschnitt zu Abschnitt kleiner wird. Genau das unterscheidet den exponentiellen Zerfall von einer linearen Abnahme.
Beispiel 2 mit drei Halbwertszeiten
Nach 15 Jahren sind noch 12,5 Prozent eines Stoffes vorhanden. Aus der Tabelle folgt, dass drei Halbwertszeiten vergangen sind. Die Rechnung lautet:
T1/2 = 15 Jahre / 3 = 5 Jahre
Dieses Vorgehen ist schnell und zuverlässig, wenn der Restanteil einer exakten Halbierung entspricht. Bei 10 Prozent oder 30 Prozent muss dagegen die Logarithmusformel verwendet werden.
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Beispiel 3 mit der Zerfallskonstante
Für ein Nuklid sei λ = 0,1 a-1 gegeben. Das Kürzel a steht hier für Jahr. Dann gilt:
T1/2 = 0,693 / 0,1 a-1 = 6,93 Jahre
Die Halbwertszeit beträgt also etwa 6,9 Jahre. Zum Vergleich haben viele bekannte Nuklide deutlich andere Werte. Kohlenstoff-14 liegt bei ungefähr 5.730 Jahren, während Jod-131 nur etwa 8 Tage benötigt. Die Halbwertszeit ist daher eine charakteristische Eigenschaft des jeweiligen Nuklids.
Typische Fehler bei der Rechnung
Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Halbwertszeit und vollständigem Zerfall. Mathematisch wird die verbleibende Menge immer kleiner, erreicht aber bei einem idealen exponentiellen Gesetz nie exakt den Wert null. Nach fünf Halbwertszeiten sind noch 3,125 Prozent vorhanden, nach zehn noch etwa 0,098 Prozent.
Auch die Zeiteinheiten müssen zusammenpassen. Eine Zerfallskonstante in s-1 liefert Sekunden, während eine Angabe in h-1 Stunden ergibt. Ich schreibe die Einheit deshalb direkt in jeden Rechenschritt und runde erst am Ende.
- Falsche Formel: Für die Halbwertszeit wird nicht einfach die Anfangsmenge durch zwei geteilt.
- Falsche Zeitbasis: Minuten, Stunden und Jahre dürfen nicht ungeprüft gemischt werden.
- Unpassende Messgröße: Aktivität und Masse müssen unter gleichen Bedingungen verglichen werden.
- Zu frühes Runden: Gerundete Zwischenwerte können das Endergebnis merklich verändern.
- Einzelatom-Missverständnis: Die Rechnung sagt nicht voraus, wann ein bestimmter Kern zerfällt.
Bei Medikamenten oder biologischen Prozessen kann zusätzlich die effektive Halbwertszeit eine Rolle spielen. Sie berücksichtigt neben dem radioaktiven Zerfall auch die Ausscheidung aus dem Körper. Für eine reine Aufgabe zur Kernphysik genügt normalerweise die physikalische Halbwertszeit.
Die wichtigste Plausibilitätsprüfung vor dem Ergebnis
Bevor ich eine Lösung als fertig betrachte, prüfe ich drei Dinge. Erstens muss die Restmenge nach einer Halbwertszeit bei 50 Prozent liegen. Zweitens muss eine größere Zerfallskonstante zu einer kürzeren Halbwertszeit führen. Drittens muss das Ergebnis dieselbe Zeiteinheit haben wie die verwendeten Messdaten.
Wer diese Kontrolle mit der passenden Formel verbindet, kann die meisten Aufgaben sicher lösen. Entscheidend ist nicht, möglichst viele Gleichungen auswendig zu kennen, sondern zu erkennen, ob eine Halbierung, eine Prozentangabe oder eine Zerfallskonstante gegeben ist. Genau daraus ergibt sich der kürzeste Rechenweg.
