Ein Satellit fällt ständig zur Erde und verfehlt sie trotzdem. Genau dieses scheinbare Paradox erklärt die sogenannte erste kosmische Geschwindigkeit: die Mindestgeschwindigkeit für eine stabile Kreisbahn ohne weiteren Antrieb. Ich zeige, warum auf der Erde rund 7,9 km/s nötig sind, wie sich der Wert mit der Flughöhe verändert und weshalb eine Rakete beim Start trotzdem deutlich mehr Leistung aufbringen muss.
Die entscheidenden Zahlen zur kosmischen Geschwindigkeit
- 7,9 km/s beziehungsweise rund 28.400 km/h reichen für eine erdnahe Kreisbahn im Idealmodell.
- Die Geschwindigkeit heißt auch Kreisbahngeschwindigkeit und hängt von der Masse des Himmelskörpers sowie vom Bahnradius ab.
- In größerer Höhe sinkt die nötige Geschwindigkeit, bei etwa 400 Kilometern Höhe auf rund 7,7 km/s.
- Die zweite kosmische Geschwindigkeit liegt auf der Erde bei etwa 11,2 km/s und ermöglicht das Entkommen aus dem Erdschwerefeld.
- In der Praxis benötigt eine Rakete meist ungefähr 9 bis 10 km/s an zusätzlichem Delta-v, weil Luftwiderstand, Schwerkraftverluste und Kurskorrekturen berücksichtigt werden müssen.
Was die Kreisbahngeschwindigkeit wirklich bedeutet
Ein Körper bleibt nicht deshalb im Orbit, weil die Erdanziehung verschwunden wäre. Im Gegenteil, er befindet sich in einem permanenten freien Fall. Seine Vorwärtsbewegung sorgt jedoch dafür, dass die Erdoberfläche unter ihm wegkrümmt, während die Gravitation ihn nach unten zieht.
Für eine ideale Kreisbahn muss die Geschwindigkeit genau zur Entfernung vom Erdmittelpunkt passen. Ist sie zu niedrig, sinkt die Flugbahn ab. Ist sie höher, entsteht zunächst eine elliptische Bahn. Der Begriff „Mindestgeschwindigkeit“ ist deshalb etwas verkürzt, denn eine stabile Umlaufbahn kann auch eine Ellipse sein und muss nicht kreisförmig verlaufen.
Die einfache Formel lautet v = √(GM/r). Dabei steht G für die Gravitationskonstante, M für die Masse des Himmelskörpers und r für den Abstand vom Mittelpunkt. Die Masse des Satelliten spielt in dieser Näherung keine Rolle. Ein kleiner CubeSat und ein großer Forschungssatellit benötigen auf derselben Bahn nahezu dieselbe Geschwindigkeit.
Warum die Erde rund 7,9 km/s verlangt
Setzt man für die Erde ihre Masse und ihren mittleren Radius ein, ergibt sich nahe der Oberfläche eine Kreisbahngeschwindigkeit von etwa 7,91 km/s. Das entspricht ungefähr 28.500 km/h. Diese Zahl beschreibt allerdings eine idealisierte Bahn, die direkt an der Erdoberfläche verlaufen würde und daher praktisch nicht nutzbar ist.
Schon in rund 200 Kilometern Höhe liegt der Wert etwas niedriger, ungefähr bei 7,8 km/s. In dieser Größenordnung bewegen sich Raumfahrzeuge in niedrigen Erdumlaufbahnen. Die Internationale Raumstation fliegt beispielsweise in ungefähr 400 Kilometern Höhe mit rund 7,7 km/s und benötigt für einen Umlauf etwa 90 Minuten.
Ich finde gerade dieser Vergleich macht die Größenordnung greifbar. Ein Linienflugzeug wirkt schnell, erreicht aber meist weniger als 1.000 km/h. Ein Satellit in einer niedrigen Umlaufbahn bewegt sich dagegen mit mehr als 28.000 km/h. Entscheidend ist nicht nur die Höhe, sondern vor allem die enorme horizontale Geschwindigkeit.
Die nötige Geschwindigkeit verändert sich mit der Höhe
Die Kreisbahngeschwindigkeit nimmt ab, je weiter ein Objekt vom Erdmittelpunkt entfernt ist. Der Grund ist einfach: In größerer Entfernung ist die Anziehungskraft schwächer. Ein Satellit muss dort weniger schnell fliegen, damit seine gekrümmte Bahn zur Erdkrümmung passt.
| Umlaufbahn | Höhe über der Erde | Bahngeschwindigkeit | Umlaufzeit |
|---|---|---|---|
| Erdnahe Idealbahn | nahe 0 km | ca. 7,9 km/s | etwa 84 Minuten |
| Niedrige Erdumlaufbahn | ca. 400 km | ca. 7,7 km/s | etwa 90 Minuten |
| Geostationäre Umlaufbahn | ca. 35.786 km | ca. 3,1 km/s | 24 Stunden |
Die geostationäre Bahn ist ein gutes Beispiel für den Unterschied zwischen Höhe und Geschwindigkeit. Ein Satellit dort fliegt deutlich langsamer als ein Raumfahrzeug in niedriger Erdumlaufbahn, bleibt aber wegen seiner großen Entfernung trotzdem in einer Umlaufbahn. Durch die passende Umlaufzeit scheint er über einem festen Punkt am Äquator zu stehen.
Dasselbe Prinzip gilt für andere Himmelskörper. Auf dem Mond liegt die Kreisbahngeschwindigkeit an der Oberfläche nur bei ungefähr 1,68 km/s, auf dem Mars bei etwa 3,55 km/s. Beide Körper sind deutlich weniger massereich als die Erde. Ihre schwächere Gravitation erleichtert deshalb den Aufbau einer Umlaufbahn.
Was passiert, wenn die Geschwindigkeit nicht genau stimmt
Die Geschwindigkeit allein entscheidet noch nicht über die Bahn. Auch ihre Richtung ist wichtig. Für eine Kreisbahn muss sie am gewünschten Bahnpunkt nahezu tangential verlaufen, also seitlich und nicht direkt nach oben zeigen.
- Zu geringe Geschwindigkeit: Die Flugbahn wird elliptisch und kann die Erdoberfläche schneiden.
- Passende Geschwindigkeit: Das Objekt bleibt auf einer Kreisbahn, sofern keine störenden Einflüsse berücksichtigt werden.
- Etwas höhere Geschwindigkeit: Die Bahn wird elliptisch und erreicht auf der gegenüberliegenden Seite eine größere Höhe.
- Ab etwa 11,2 km/s: Das Objekt kann das Erdschwerefeld auf einer offenen Bahn verlassen.
Hier wird die Abgrenzung zur zweiten kosmischen Geschwindigkeit wichtig. Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt auf der Erde ungefähr 11,2 km/s, also den Faktor √2 der erdnahen Kreisbahngeschwindigkeit. Wer diesen Wert erreicht, fliegt nicht einfach in einer höheren Kreisbahn weiter, sondern bewegt sich auf einer offenen parabelförmigen Bahn vom Planeten weg.
Ein häufiger Denkfehler besteht darin, eine Rakete müsse nur senkrecht nach oben beschleunigen. Das bringt sie zwar aus den dichteren Atmosphärenschichten, aber noch nicht in eine Umlaufbahn. Für einen Orbit muss der größte Teil der Geschwindigkeit horizontal aufgebaut werden. Genau deshalb neigt sich die Flugbahn einer Rakete nach dem Start zunehmend zur Seite.
Warum Raketen mehr als 7,9 km/s benötigen
Die theoretische Zahl gilt für einen Körper, der sich bereits auf der richtigen Höhe befindet und keine Atmosphäre durchqueren muss. Eine startende Rakete beginnt jedoch auf der Erdoberfläche, verliert Energie durch Luftwiderstand und muss während des Aufstiegs ständig gegen die Erdanziehung arbeiten.
Zusätzlich kann die Erdrotation helfen. Ein Start in östlicher Richtung erhält am Äquator einen Geschwindigkeitsanteil von bis zu etwa 0,46 km/s. Von höheren geografischen Breiten ist dieser Vorteil kleiner. Raumfahrtagenturen wählen Startplätze und Flugrichtungen deshalb nicht zufällig, auch wenn Sicherheit, Infrastruktur und die gewünschte Bahn ebenfalls eine große Rolle spielen.
In der Praxis liegt das notwendige Delta-v für eine niedrige Erdumlaufbahn grob bei 9 bis 10 km/s. Delta-v bezeichnet die gesamte Geschwindigkeitsänderung, die ein Raumfahrzeug für Start, Aufstieg und erforderliche Bahnmanöver aufbringen muss. Dieser Wert ist größer als die reine Kreisbahngeschwindigkeit, weil reale Flugbedingungen Verluste verursachen.
Die Atmosphäre ist dabei ein besonders harter Gegner. Ein Körper mit 7,9 km/s kann in dichter Luft nicht einfach dauerhaft horizontal weiterfliegen. Der Luftwiderstand würde ihn abbremsen und die entstehende Reibungshitze wäre zerstörerisch. Deshalb steigt eine Rakete zunächst steil auf und beschleunigt erst in größerer Höhe stark in die horizontale Richtung.
Welche Grenzen das einfache Modell hat
Die Formel für eine Kreisbahn beschreibt ein Zweikörperproblem, also beispielsweise einen Satelliten und die Erde. In der Realität wirken zusätzlich der Mond, die Sonne, die ungleichmäßige Massenverteilung der Erde und die Restatmosphäre. Für eine erste Einschätzung reicht das Modell hervorragend, für eine präzise Missionsplanung braucht man jedoch deutlich umfangreichere Berechnungen.
Auch die Bezeichnung „antriebslos“ sollte man nicht missverstehen. Ein Satellit benötigt im Idealfall keinen dauernden Schub, um seine Bahn zu halten. In niedrigen Umlaufbahnen bremst ihn die dünne Atmosphäre aber langsam ab. Raumfahrzeuge müssen deshalb gelegentlich Orbitkorrekturen durchführen, sonst sinkt ihre Bahn mit der Zeit.
Für Leser, die eine konkrete Bahn berechnen möchten, ist der Bahnradius entscheidend, nicht nur die Höhe. Zum Beispiel entspricht eine Höhe von 400 Kilometern einem Abstand von ungefähr 6.771 Kilometern vom Erdmittelpunkt. Erst dieser gesamte Radius gehört in die Formel. Wer stattdessen nur 400 Kilometer einsetzt, erhält ein physikalisch falsches Ergebnis.
Die wichtigste Zahl ist immer an eine Bahn gebunden
Für die Erde kann man sich 7,9 km/s als typische Kreisbahngeschwindigkeit nahe der Oberfläche merken. Sie ist aber kein universeller Festwert und auch keine allgemeine Startgeschwindigkeit für jede Rakete. Höhe, Himmelskörper, Flugrichtung und reale Verluste verändern die praktische Rechnung.
Die anschaulichste Vorstellung bleibt für mich der permanente Fall: Ein Satellit fällt ununterbrochen zur Erde, bewegt sich aber so schnell seitwärts, dass er den Boden nicht erreicht. Wer diesen Zusammenhang verstanden hat, kann die Unterschiede zwischen Kreisbahn, Ellipse und Fluchtbahn besser einordnen und verwechselt die erste nicht mehr mit der zweiten kosmischen Geschwindigkeit.
